Asie, mars 2023, sujet 2 (adapté)

On considère deux cubes \(\mathrm{ABCDEFGH}\)  et \(\mathrm{BKLCFJMG}\) positionnés comme sur la figure suivante.

Le point \(\text I\) est le milieu de \(\mathrm{[EF]}\) .

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\) .

Ainsi, par exemple, les points \(\text F\) , \(\text G\) et \(\text J\) ont pour coordonnées  \(\text F(1~;~0~;~1)\) ,  \(\text G(1~;~1~;~1)\)  et  \(\text J(2~;~0~;~1)\) .

1. Montrer que le volume du tétraèdre \(\mathrm{FIGB}\) est égal à \(\dfrac{1}{12}\)  d'unité de volume.

On rappelle que le volume \(V\) d'un tétraèdre est donné par la formule : \(V = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}\) .

2. Déterminer les coordonnées du point \(\text I\) .

3. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) un vecteur normal au plan \(\mathrm{(BIG)}\) .

On considère la droite \(d\) , orthogonale à \(\mathrm{(BIG)}\) et passant par  \(\text F\) . Elle coupe le plan   \(\mathrm{(BIG)}\)   au point \(\text L\)  de coordonnées \(\left(\dfrac23~;~\dfrac16~;~\dfrac56\right)\) .

4. a. Calculer la longueur \(\mathrm{FL}\) .
    b. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle \(\mathrm{BIG}\) .